絶対論理のパラノイア

東京大学の数学(理系)で、このような問題が出たことがある。

「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」

結構これは面食らう問題であったことだろう。
当時、小学校教育で円周率を3として扱う云々に対する最高学府からの警鐘だ、などと言われたりもしたが、ともかくも解法を紹介したい。

半径が1の円と、それに内接する正十二角形を考える。
正12角形を構成する三角形は、二辺の長さが1で、その二辺に挟まれた角は360÷12=30°である。

のこり一辺の長さをaとおくと、
余弦定理よりa=√(2-√3)となる。
よってこの正十二角形の周の長さは、12×a=12√(2-√3)、となる。

さてこの円の円周の長さは円周率×2である。
(なぜならば円周÷直径=円周率だから)

この円周は、もちろん正十二角形の周の長さより大きいのだから、
円周率×2>12√(2-√3)

これを計算していくと、円周率>3.05が求まる。

110531_0212~0001



この考え方を応用して、正n角形ではどうだろうか?
円に内接する正n角形の周の長さを直径2でわると、円周率に近い数値が出てくるはずだ。
そうして、そのnの値を大きくしていけば、その正n角形はどんどん円に近い図形となっていき、
周の長さ÷直径が、どんどん円周率に漸近していくのではないか?

と思って考えたのが、下の図である。

110531_0224~0001


残念ながら文系なので数3は履修しておらず、したがって極限は扱えない。

lim(x→∞) 〔x√{2-2cos(360/x)°}〕/2 

この値は本当にπとなるのだろうか。

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